Elementtimenetelmä

Purpose of the work is to give an elementary introduction to the Finite Element Method. We give an abstract mathematical formalization to the Finite Element Problem and work out how the method is a suitable method in approximating solutions of Partial Differential Equations. In Chapter 1 we give a concrete example code of Finite Element Method implementation with Matlab of a relatively simple problem. In Chapter 2 we give an abstract formulation to the problem. We introduce the necessary concepts in Functional Analysis. When Finite Element Method is interpreted in a suitable fashion, we can apply results of Functional Analysis in order to examine the properties of the solutions. We introduce the two equivalent formulations of weak formulation to differential equations: Galerkin’s formulation and minimizing problem. In addition we define necessary concepts regarding to certain function spaces. For example we define one crucial complete inner product space, namely Sobolev space. In Chapter 3 we define the building blocks of the element space: meshing and the elements. Elements consists of their geometric shape and of basis functions and functionals on the basis functions. We also introduce the concepts of interpolation and construct basis functions in one, two and three dimensions. In Chapter 4 we introduce implementation techniques in a rather broad sense. We introduce the crucial concepts of stiffness matrix and load vector. We introduce a procedure for implementing Poisson’s equation and Helmholt’z equation. We introduce one way of doing numerical integration by Gaussian quadrature points- and weights. We define the reference element and mathematical concepts relating to it. Reference element and Gaussian quadrature points are widely used techniques when implementing Finite Element Method with computer. In Chapter 5 we give a rigid analysis of convergence properties of Finite Element Method solution. We show that an arbitrary function in Sobolev space can be approximated arbitarily close by a certain polynomial, namely Sobolev polynomial. The accuracy of the approximation depends on the size of the mesh and degree of the polynomial. Polynomial approximation theory in Sobolev spaces have a connection to Finite Element Methods approximation properties through Cèa’s lemma. In Chapter 6 we give some examples of posteriori convergence properties. We compare Finite Element Method solution acquired with computer to the exact solution. Interesting convergence properties are found using linear- and cubic basis functions. Results seem to verify the properties acquired in Chapter 5.Työssä esitellään elementtimenetelmä. Menetelmälle esitetään matemaattinen abstrakti muotoilu, sekä perustellaan matemaattisen analyysin avulla elementtimenetelmän toimivuus. Lisäksi työssä annetaan esimerkkejä menetelmän käytännön sovelluksista tietokoneelle ja tutkitaan suppenemisominaisuuksia täsmällisen ratkaisun suhteen. Luvussa 1 lähdetään liikkelle elementtimenetelmän yksinkertaisesta yksiulotteisesta sovelluksesta differentiaaliyhälöihin. Samalla esitellään menetelmän teoreettinen perusta. Luvussa annetaan toteutuksen Matlab koodi, jotta lukija pääsee vaivattomasti itse kokeilemaan menetelmän soveltamista. Luvussa 2 esitellään menetelmän matemaattinen abstrakti muotoilu. Luvussa esitellään tarvittavat funktioanalyysin käsitteitä ja tuloksia. Kun elementtimenetelmän tulkitsee sopivien funktioavaruuksien kautta, pääsemme soveltamaan siihen funktioanalyysin yleisesti tunnettuja tuloksia. Luvussa esitellään yhtäpitävät muotoilut differentiaaliyhtälöiden heikolle muotoilulle: Galerkinin muotoilu ja minimointitehtävä. Lisäksi määritellään oleellisia vektoriavaruuksien ominaisuuksia ja vektoriavaruuksia, esimerkiksi eräs tärkeä täydellinen sisätuloavaruus: Sobolevin avaruus. Luvussa 3 määritellään elementtiavaruuden rakennusosat: ositus ja elementti. Elementit koostuvat paitsi geometrisesta muodosta, myös elementteihin määritellyistä kantafunktioista ja kantafunktioiden duaaliavaruudesta. Luvussa esitellään interpolaation käsite ja konstruoidaan eriasteisia kantafunktioita ensimmäisessä, toisessa ja kolmannessa ulottuvuudessa. Luvussa 4 esitellään suurpiirteisesti menetelmän toteutus tietokoneelle. Luvussa esitellään elementtikannalta oleelliset käsitteet: jäykkyysmatriisi ja kuormavektori. Luvussa käydään läpi menetelmän toteuttaminen Poissonin yhtälölle sekä Helmholtzin yhtälölle. Numeerinen integrointi Gaussin vertailupisteillä- ja painoilla esitellään. Lisäksi luvussa määritellään vertailuelementti ja käydään läpi siihen liittyviä matemaattisia käsitteitä. Vertailuelementti ja Gaussin vertailupisteet ovat tärkeitä käsitteitä menetelmän toteuttamisessa. Luvussa 5 perustellaan menetelmän toimivuus polynomisen approksimointiteorian kautta. Luvussa osoitetaan ensin, että Sobolevin avaruuksissa voidaan approksimoida mielivaltaisia funktioita mielivaltaisen tarkasti niin sanoituilla Sobolevin polynomeilla. Approksimoinnin tarkkuus riippuu elementtien koosta ja polynomien asteesta. Polynominen approksimointiteorian tulokset liittyy elementtimenetelmän suppenemisominaisuuksiin Cèan lemman kautta. Luvussa 6 käsitellään posteriori suppenemisominaisuuksia. Luvussa vertaillaan tietokoneella laskettua elementtimenetelmän ratkaisua tiedossa olevaan täsmälliseen ratkaisuun. Luvussa saadaan mielenkiintoisia suppenemisominaisuuksia ensimmäisen- ja kolmannen asteen kantafunktioilla. Tulokset tukevat luvussa 5 saatuja tuloksi

Downlink Coverage and Rate Analysis of Low Earth Orbit Satellite Constellations Using Stochastic Geometry

As low Earth orbit (LEO) satellite communication systems are gaining increasing popularity, new theoretical methodologies are required to investigate such networks' performance at large. This is because deterministic and location-based models that have previously been applied to analyze satellite systems are typically restricted to support simulations only. In this paper, we derive analytical expressions for the downlink coverage probability and average data rate of generic LEO networks, regardless of the actual satellites' locality and their service area geometry. Our solution stems from stochastic geometry, which abstracts the generic networks into uniform binomial point processes. Applying the proposed model, we then study the performance of the networks as a function of key constellation design parameters. Finally, to fit the theoretical modeling more precisely to real deterministic constellations, we introduce the effective number of satellites as a parameter to compensate for the practical uneven distribution of satellites on different latitudes. In addition to deriving exact network performance metrics, the study reveals several guidelines for selecting the design parameters for future massive LEO constellations, e.g., the number of frequency channels and altitude.Comment: Accepted for publication in the IEEE Transactions on Communications in April 202

On routing protocols in inter-satellite communications

Low earth orbit (LEO) satellite networks offer broadcasting to remote places or places at the time of natural or human-caused calamities. LEO satellites are preferable in a real-time communication compared to e.g. geostationary satellites due to smaller propagation delay and packet loss. Inter-satellite communication may further reduce the end-to-end delay between two terrestrial nodes. Routing of the networks will play a crucial role in optimizing the potential capacity of the network. We present and analyze a simple ALOHA type routing protocol for inter-satellite links in a satellite network.publishedVersio

Performance Evaluation of Low Earth Orbit Communication Satellites

Recently, there is a growing trend toward deploying low Earth orbit communication satellites due to lower latency and easier launching compared with geostationary satellites. In this paper, we study the effect of altitude and inclination angle on the coverage probability and data rate of a user located in Tampere. The simulations show that the minimum inclination angle that results in sufficient coverage and data rate decreases as altitude increases. On the other hand, for inclination angles which are larger than the minimum required inclination, the better performance is obtained for lower altitudes. This study provides a guideline for LEO constellation design based on coverage and data rate needs.publishedVersio

Theoretical and simulation-based analysis of terrestrial interference to LEO satellite uplinks

The integration of satellite-terrestrial networks is beneficial in terms of the increase of the network capacity and coverage. In such a heterogeneous network, highly efficient spectrum utilization is extremely important. This could be achieved by the single frequency reuse which allows increasing the capacity at the cost of increased interference. Interference is one of the main parameters that limits the link-level performance in such a network. In this paper, we examine the frequency reuse scenario by analyzing the impact of terrestrial interference to the uplink of a low Earth orbiting (LEO) satellite constellation in the high International Mobile Telecommunications (IMT) frequency bands. To this end, we propose a novel stochastic geometry based analytical framework that is able to accommodate various aspects of realistic satellite networks. The accuracy of the analysis is verified by using advanced simulation tools.acceptedVersionPeer reviewe